블랙홀의 밀도

허블우주망원경이 하고 있는 일 중 하나는 대부분 은하 중앙에 있다고 믿어지는 거대한 블랙홀을 찾는 것이다. 이 글에서는 10의 거듭제곱을 이용한 간단한 수식을 이용해 현대 천문학의 총아로 등장하고 있는 거대한 블랙홀에 대해 자세히 소개하고자 한다.

블랙홀 이론의 뿌리가 된 아인슈타인의 일반상대성이론은 수학적으로 꽤 복잡한 방정식으로 이뤄졌다.

R_αγ-1/2Rg_αγ=8πG/c⁴ T_αγ

(c는 광속, G는 중력상수, 나머지는 수학기호들)

이 안에 모든 의마가 함축돼 있다. 슈바르트쉴트는 위 방정식을 풀어 어떤 천체든 자전하지 않는 가운데 반지름 R(앞식의 R과는 의미가 다름)이

R=2GM/c² (G는 중력상수, M은 천체의 질량, c는 광속)

과 같은 값을 가지도록 수축하면 블랙홀이 된다는 것을 보였다. 이 방정식 역시 광고 속에 등장한다. 이를 슈바르츠실트 반지름이라고 한다. 질량이 2×10³⁰kg인 우리 해의 경우 슈바르츠실트 반지름은 3km가 된다. 바꾸어 말하면 해와 같은 질량을 갖는 자전하지 않는 블랙홀의 반지름은 3km임을 뜻한다.

거대블랙홀 평균밀도, 물과 비슷
거대한 블랙홀들의 질량은 해의 질량보다 약 1백만(10⁶)배에서 약 10억(10⁹)배까지 더 크다. 슈바르츠실트 블랙홀, 즉 자전하지 않는 블랙홀의 반지름은 질량에 비례한다. 예를 들어 우리 해보다 1억(10⁸)배 질량이 큰 블랙홀의 반지름은 3억(3×10⁸)km이라야 한다. 해와 지구 사이의 평균거리를 천문단위(AU)이라고 하는데, 1AU는 1억5천만(1.5×10⁸)km다. 이 블랙홀 반지름은 2AU, 즉 해와 화성 사이의 평균거리인 1.5AU보다 약간 더 크다. 따라서 “은하 중앙에 있는 거대한 블랙홀들은 그 크기가 대략 우리 태양계만하다”고 말해도 틀리지 않는다.

한가지 잘 알려지지 않은 사실은 이 거대한 블랙홀의 평균밀도다. 블랙홀 내부에서는 모든 물질이 가운데에 있는 특이점(singularity)에 몰려 있기 때문에 평균밀도를 언급하는 것은 의미가 없다. 그래도 단순히 질량을 부피로 나누어 밀도를 정의한다면, 그 값은 믿거나 말거나 물의 평균밀도(1g/㎤) 정도밖에 되지 않는다. 실제로 우리 해 질량의 1억배, 즉 2×10³⁸kg을 반지름이 2AU인 구의 부피로 나누어 보면

(2×10³⁸kg)/(4/3)π(3×10⁸㎞)³=≒1.8g/㎤
에 불과하다는 사실을 쉽게 확인할 수 있다.

한가지 더 재미있는 사실은 이 거대한 블랙홀이 하루에 최고 20여바퀴를 자전할 수 있다는 것이다. 이것도 간단히 계산해 알아보자. 해와 같은 질량을 갖는 커 블랙홀, 즉 자전하는 블랙홀은 가장 빨리 자전하는 경우 반지름이 1.5km가 된다. 즉 슈바르츠실트 블랙홀의 경우보다 반으로 줄어든다. 앞에서 예를 든 반지름 2AU짜리 블랙홀도 가장 빨리 자전하는 경우 반지름이 1AU로 줄어든다. 따라서 이 블랙홀의 가장자리가 광속(3×10⁵km/초)에 가까워지도록 자전하는 경우, 한번 자전하는데 걸리는 시간은 반지름이 1AU인 원주의 길이를 광속으로 나누면 된다.

(2π×1×1.5×10⁸㎞)/(3×10⁵㎞/초)≒3.14×10³초≒52분이 된다.
박석재 한국천문연구원 원장