님이 cogito 님께 질문 하는 내용을 보고 제가 이해하는 괴델의 Incompleteness Theorem 을 쉽게 정리해 봤습니다.
존대말을 생략했으니 미리 양해를 구합니다.
Incompleteness Theorem 에서 유의 하고 조심해야할 상황은 이것이 수학적인 이론이지, 과학도 아니고, 철학도 아니라는 사실이다.
물론 철학적인 application 이 있을수도 있지만은 그럴려면 이 이론이 안고 있는 "전제"를 확실히 이해 해야 할것이다.
불완정성 이론: 모든 간단한 수학적인 공식들로 (예 곱하기, 나누기, 더하기 등등) 표현할수 있는 이론들은 동시에 완전하고 모순이 없을수 없다.
이걸 수학적으로 증명해봐도 수학을 공부하는 사람들 이외는 별의미가 없을것이다. 해서, 정식적인 "증명" 보단 "예" 를
통하여 이 이론이 말하고자하는 것을 이해해 보고자 한다. 그리고 이 이론을 어떻게 종교나 철학에 접목시킬수 있는가 생각해 보고자한다.
간단한 예: 진실만 꼭 따라 말해야 하는 앵무새가 있다고 가정해 보자. 자기가 들은 거짓은 절대로 입밖에 낼수없으며 참말은 꼭 큰 소리로 따라 이야기 해야한다.
(모든 간단 한 수학공식 들이 하는 일이다. 여기서 "앵무새"를 산술적 이론 이라 생각할수 있다).
사람: 나는 거짓을 말할수 없다 (사실임)
앵무새: 나는 거짓을 말하수 없다.
사람: 밤이다 (사실은 낮인데)
앵무새: 무답
아주 간단한 "공식" 이다.
그러나 다음 문제를 생각해 보자.
사람: 나는 진실만 말하지 않는다. (사실임)
앵무새: ??? 여기서 앵무새가 딜레마에 빠진다. 사람이 한말은 그 사람의 입장에선 "진실" 이기에 따라 해야만 한다. 그러나 따라 하면 그것은 또 거지말 이 되기에 따라할수도 없다. 결국 모순에 빠진 상태다.
여기서 왜 앵무새가 자기 모순에 빠지게 됬는지를 확실히 이해해야 할 필요가있다.
로봇 같이 "진리"는 꼭 큰 소리로 입밖에 내야하기 때문이다. (모든 수학 공식은 exception 없이 공식대로 해야만한다 ).
그러나 우리 인생는 다르다. 성경적인 "진리" 도 다르다.
성경이 말하는 진리는 이타적인 사랑이다.
이 사랑은 로봇같이 자기 주장을 큰소리로 항상 외치지 않는다.
flexible 하게 상대의 입장을 이해해 주고, 감싸주고
아무리 "사실"적인 말이라 해도 그 말을 앵무새 같이, 수학 공식 같이 뱉어내지않는다.
사랑은 다른 사람을 배려하기에 때와 장소를, 할말 못할말을 가려서한다.
이런 사랑의 진리 안에선 괴델의 불완전성 이론이 전혀 성립되지 않는다. 그 이론의 "전제" 자체가 잘못된 것이기에...
그러나 재밌는 사실은, 율법주의 테두리 안에서는 괴델의 불완정성 이론이 성립된다.
수학 공식같은 행동의 code (do's and don'ts)를 전제로 늘 로봇같이 때와 장소를 안가리고
자기가 아는 "진리"를 늘 큰 소리로 말하기 때문이다.
결론적으로 괴델의 불완전성 이론에 의하여 완전한 진리가 존재하지 않는 다는 것은 잘못된 이해라고 생각한다.
p.s. 괴델뿐만 아니라 Einstein 의 상대성 이론도 아주 오해가 심하다. 상대성 이론의 전제는 빛의 속력은 Universal Constant 인 C 다.
즉 어디서 누가 관측해도 광속은 C 이다. 예를 들면, 60 마일로 달리는 기차안에서 시속 60 마일로 야구공을 같은 방향으로 던질경우
밖에 서있는 사람에겐 그 공이 시속 120 마일의 속도로 보인다. (60+60=120). 그러나 기차안에서 같은 방향으로 flash light 를 켯을 경우
그 빛의 속력은 기차 안에 있는 사람에게도 당연히 C 이지만 기차 밖에서 보는 사람에게도 C 이다. (C+ 기차 속력 이 아니라).
이런 재밌는 현상 때문의 시간의 "상대성"이 성립되는 것이다. 따라서 상대성 원리의 전제는 모든것이 상대적이란 이야기가 아니고
그 반대이다. 전혀 상대적이지 않은 절대적인 constant C. 이런 관점에서 볼때 성경에 하나님을 "빛"에 비유한 사실은 우연의 일치일까?
어쨋건 우리가 과학이나 수학의 concept 를 철학이나 종교에 접목시킬땐 정말 많이 조심해야된다.
all this was just my humble opinion.
재미있는 글 잘 읽었습니다.
괴델의 정리는 먼저 cogito님 덕분에 알게 되었는데
학생님 때문에 제대로 배우게 되네요. 하지만 글을 읽고 님의 주장에 세 가지 의문이 바로 듭니다:
1)
앵무새가 산술적 이론이라는 비유(simile)적 전제를 하시는 것까지는 좋은데 앵무새가 사람의 말의 진위 여부에 따라 그대로 따라하지 못한 것은
"앵무새=산술적 이론"이라는 등식, 즉 그 앵무새라는 비유에 포함된 전제적 속성(attribute)이 아니므로 님은 [전제의 오류]를 범하고 있는 듯 합니다.
제가 잘못 이해하고 있는 건지요?
2)
율법주의 안에서 괴델의 정리가 성립된다고 하셨는데 도리어 두 번째 언급한 이 율법주의와 첫 번째 언급한 사례와의 구분이 객관성을 잃은 진술,
즉 님의 주관적 이해에 바탕을 둔 [평가적 명제]이므로 님은 도리어 괴델의 정리가 성립하고 있다는 증명을 한 번 더 한 셈에 불과한 듯 합니다.
제가 잘못 이해하고 있는 건지요?
3)
괴델의 불완전성의 원리는 수학적 이론이기 때문에 이를 철학이나 신학으로 application하는 데에 한계가 있다고 바로 위에서 증명까지 하신 님께서
바로 밑에서는 아인슈타인의 상대성의 원리를 신학으로 application하시며 "마치" 성경을 증명하는 듯한 논리를 보이신 것도 님이 바로 위에서 말씀하신
"우연의 일치(coincidence)"일까요?
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저도 과학을 매우 사랑하지만 과학이 성경을 증명한다거나 과학적 진리가 성경의 무오류를 입증한다는 사상은 믿지 않습니다. 물론 과학도 한 때
natural philosophy라 불리던 때도 있었고, 과학이 사실과 자연을 탐구하고 관찰하여 궁리한 결과물이라면 그것이 "여실한 진리"라는 궁극적 원리에
한 편 가까울 수 있겠으나, 그 역시 한계가 있겠죠. 그리고 그 한계는 근사치라는 이름으로 버무리기 불가능할 정도로 엄청날 것이라는 게 저의 누추한
생각입니다. 즉 primates와 인간은 너무 다른 존재지만 과학에서 바라보는 DNA염기서열구조는 99.9%가 같으니까요. 님의 고견을 기다립니다.